Question

【題目】如圖，在中，，于點，點為中點，連接交于點，且，過點作，交于點.

（1）求的大小；

（2）求證：.

Answer 1

【答案】（1）∠CAD =22.5°；（2）見解析.

【解析】

（1）只要證明△BDF≌△ADC，推出BD=AD，推出∠BAD=∠ABD=45°=2∠CBE=2∠DAC即可解決問題．
（2）延長BE、DG交于點K．證明DK=BD=AD， GK=AF后可以證明Rt△AEF≌Rt△KEG，問題即可解決．

證明：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°

∵AB=BC，E為AC中點，
∴∠ABE=∠CBE= ∠ABC，BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴180°-∠C-∠ADC=180°-∠C-∠BEC
即∠CBE=∠CAD，
在△BDF和△ADC中，

，

∴△BDF≌△ADC，
∴BD=AD，
∴∠BAD=∠ABD=45°，∠CBE=∠DAC,
∴∠CAD=∠ABD=22.5°．
（2）延長BE、DG交于點K．

∵DG∥AB，
∴∠CGD=∠CAB，∠K=∠ABE，

∵∠BAC=∠C， ∠ABE=∠CBE=∠EAF
∴∠CGD=∠C，∠K=∠CBE =∠EAF

∴DG=DC，DK=BD，

∴△BDF≌△ADC，
∴CD=DF，
∴DG=DF，DK=BD=AD，
∴DK-DG=AD-DF，

即GK=AF
在Rt△AEF和Rt△KEG中

，

∴Rt△AEF≌Rt△KEG（AAS），
∴EF=EG．