Question

【題目】如圖1，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，如果點E由點B出發沿BC方向向點C勻速運動，同時點F由點D出發沿DA方向向點A勻速運動，它們的速度分別為每秒2cm和1cm，FQ⊥BC，分別交AC、BC于點P和Q，設運動時間為t秒（0＜t＜4）．

（1）連接EF，若運動時間t＝秒時，求證：△EQF是等腰直角三角形；

（2）連接EP，當△EPC的面積為3cm2時，求t的值；

（3）在運動過程中，當t取何值時，△EPQ與△ADC相似．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）2秒；（3）2秒或秒或秒．

【解析】

（1）由題意通過計算發現EQ＝FQ＝6，由此即可證明；

（2）根據題意利用三角形的面積建立方程即可得出結論；

（3）由題意分點E在Q的左側以及點E在Q的右側這兩種情況，分別進行分析即可得出結論．

解：（1）證明：若運動時間t＝秒，則

BE＝2×＝（cm），DF＝（cm），

∵四邊形ABCD是矩形

∴AD＝BC＝8（cm），AB＝DC＝6（cm），∠D＝∠BCD＝90°

∵∠D＝∠FQC＝∠QCD＝90°，

∴四邊形CDFQ也是矩形，

∴CQ＝DF，CD＝QF＝6（cm），

∴EQ＝BC﹣BE﹣CQ＝8﹣﹣＝6（cm），

∴EQ＝QF＝6（cm），

又∵FQ⊥BC，

∴△EQF是等腰直角三角形；

（2）由（1）知，CE＝8﹣2t，CQ＝t，

在Rt△ABC中，tan∠ACB＝＝，

在Rt△CPQ中，tan∠ACB＝＝＝，

∴PQ＝t，

∵△EPC的面積為3cm2，

∴S△EPC＝CE×PQ＝×（8﹣2t）×t＝3，

∴t＝2秒，

即t的值為2秒；

（3）解：分兩種情況：

Ⅰ．如圖1中，點E在Q的左側．

①∠PEQ=∠CAD時，△EQP∽△ADC，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠CAD=∠ACB，

∵△EQP∽△ADC，

∴∠CAD=∠QEP，

∴∠ACB=∠QEP，

∴EQ=CQ，

∴CE=2CQ，

由（1）知，CQ=t，CE=8-2t，

∴8-2t=2t，

∴t=2秒；

②∠PEQ=∠ACD時，△EPQ∽△CAD，

∴，

∵FQ⊥BC，

∴FQ∥AB，

∴△CPQ∽△CAB，

∴，即，

解得：，

∴，

解得：；

Ⅱ．如圖2中，點E在Q的右側．

∵0＜t＜4，

∴點E不能與點C重合，

∴只存在△EPQ∽△CAD，

可得，即，

解得：；

綜上所述，t的值為2秒或秒或秒時，△EPQ與△ADC相似．