Question

（本題10分）如圖直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC ，AD＝2，AB＝8，CD＝10．
(1)求BC的長；
(2)動點P從點B出發，以1cm/s的速度沿B→A→D方向向點D運動；動點Q從點C出發，以1cm/s的速度沿C→D方向向點D運動；過點Q作QF⊥BC于點F．若P、Q兩點同時出發，當其中一點到達終點時整個運動隨之結束，設運動時間為t秒．問：在運動過程中，是否存在這樣的t，使得以P、D、Q為頂點的三角形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）過點D作DE⊥BC于點E
∵四邊形ABCD是直角梯形      ∴四邊形ABED是矩形
∴AD=BE=2，AB=DE=8…………………（1分）
在Rt△DEC中，CE==="6" …………………（2分）
∴BC ="8." …………………（3分）
（2）（i）當0≤t≤8時，過點Q      作QG⊥AB于點G，過點Q作QF⊥CB于點F。
∵BP=t，CQ=t，      ∴AP=8－t，DQ=10－t，…………（4分）
∵DE⊥BC，QF⊥CB
∴△CQF∽△CDE
∴
∴     ∴CF=，QF=，
∴PG==，QG=8－
∴=（8－t）2+22=t2+16t+68，
∴PQ2=QG2+PG2=（8－）2+（）2=
若DQ=PD，則（10－t）2= t2+16t+68，解得：t=8；………………（6分）
若DQ=PQ，則（10－t）2=，
解得：t1=，t2=＞8（舍去），
此時t=；             ………………（8分）
（ii）當8＜t＜10時，PD=DQ=10－t，
∴此時以DQ為一腰的等腰△DPQ恒成立；………………（9分）
而當t=10時，點P、D、Q三點重合，無法構成三角形；…………（10分）
綜上,當t=或8≤t＜10時，以P、D、Q為頂點的三角形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形.                                

略