Question

【題目】已知，如圖①，在ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，AC⊥AB，△ACD沿AC的方向勻速平移得到△PNM，速度為1cm/s；同時，點Q從點C出發，沿CB方向勻速移動，速度為1cm/s，當△PNM停止平移時，點Q也停止移動，如圖②，設移動時間為t（s）（0＜t＜4），連接PQ，MQ，MC，解答下列問題：

（1）當t為何值時，PQ∥MN？

（2）設△QMC的面積為y（cm2），求y與x之間的函數關系式；

（3）是否存在某一時刻t，使S△QMC：S四邊形ABQP=1：4？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

（4）是否存在某一時刻t，使PQ⊥MQ？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（0＜t＜4）；（3）t=2；（4）．

【解析】

試題分析：（1）根據勾股定理求出AC，根據PQ∥AB，得出，，求解即可；

（2）過點P作PD⊥BC于D，根據△CPD∽△CBA，得出，求出PD=，再根據S△QMC=S△QPC，得出y=S△QMC=QCPD，再代入計算即可；

（3）根據S△QMC：S四邊形ABQP=1：4，得出S△QPC：S△ABC=1：5，代入得出（）：6=1：5，再計算即可；

（4）根據PQ⊥MQ得出△PDQ∽△MQP，得出=MPDQ，根據勾股定理得出=MPDQ，再分別代入得出，求出t即可．

試題解析：（1）在Rt△ABC中，AC==4，由平移的性質得MN∥AB，∵PQ∥MN，∴PQ∥AB，∴，∴，解得；

（2）過點P作PD⊥BC于D，∵△CPD∽△CBA，∴，∴，∴PD=，∵PD∥BC，∴S△QMC=S△QPC，∴，即（0＜t＜4）；

（3）∵S△QMC：S四邊形ABQP=1：4，∴S△QPC：S四邊形ABQP=1：4，∴S△QPC：S△ABC=1：5，（）：6=1：5，整理得：，解得；

（4）若PQ⊥MQ，則∠PQM=∠PDQ，∵∠MPQ=∠PQD，∴△PDQ∽△MQP，∴，∴=MPDQ，∴=MPDQ，∵CD=，∴DQ=CD﹣CQ==，∴，∴整理得，解得（舍去），，∴時，PQ⊥MQ．