Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，△ABO的邊AB垂直于x軸，垂足為點B，反比例函數y＝(x＞0)的圖象經過AO的中點C，交AB于點D，且AD＝3．

(1)設點A的坐標為(4，4)則點C的坐標為　 　；

(2)若點D的坐標為(4，n)．

①求反比例函數y＝的表達式；

②求經過C，D兩點的直線所對應的函數解析式；

(3)在(2)的條件下，設點E是線段CD上的動點(不與點C，D重合)，過點E且平行y軸的直線l與反比例函數的圖象交于點F，求△OEF面積的最大值．

Answer 1

【答案】(1)C(2，2)；(2)①反比例函數解析式為y＝；②直線CD的解析式為y＝﹣x+3；(3)m＝3時，S△OEF最大，最大值為.

【解析】

（1）利用中點坐標公式即可得出結論；
（2）①先確定出點A坐標，進而得出點C坐標，將點C，D坐標代入反比例函數中即可得出結論；
②由n=1，求出點C，D坐標，利用待定系數法即可得出結論；
（3）設出點E坐標，進而表示出點F坐標，即可建立面積與m的函數關系式即可得出結論．

(1)∵點C是OA的中點，A(4，4)，O(0，0)，

∴C，

∴C(2，2)；

故答案為(2，2)；

(2)①∵AD＝3，D(4，n)，

∴A(4，n+3)，

∵點C是OA的中點，

∴C(2，)，

∵點C，D(4，n)在雙曲線上，

∴，

∴，

∴反比例函數解析式為；

②由①知，n＝1，

∴C(2，2)，D(4，1)，

設直線CD的解析式為y＝ax+b，

∴，

∴，

∴直線CD的解析式為y＝﹣x+3；

(3)如圖，由(2)知，直線CD的解析式為y＝﹣x+3，

設點E(m，﹣m+3)，

由(2)知，C(2，2)，D(4，1)，

∴2＜m＜4，

∵EF∥y軸交雙曲線于F，

∴F(m，)，

∴EF＝﹣m+3﹣，

∴S△OEF＝(﹣m+3﹣)×m＝(﹣m2+3m﹣4)＝﹣(m﹣3)2+，

∵2＜m＜4，

∴m＝3時，S△OEF最大，最大值為