Question

【題目】如圖所示，直線(xiàn)AM∥BN，∠MAB與∠NBA的平分線(xiàn)交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作一條直線(xiàn)l與兩條直線(xiàn)MA，NB分別相交于點(diǎn)D，E．

（1）如圖1，當(dāng)直線(xiàn)l與直線(xiàn)MA垂直時(shí)，試探究AB，AD，BE之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；

（2）如圖2，當(dāng)直線(xiàn)l與直線(xiàn)MA不垂直，且交點(diǎn)D，E在AB的異側(cè)時(shí)，則（1）的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立，請(qǐng)直接寫(xiě)出AB，AD，BE之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）AD＋BE＝AB（2）不成立，ADAB＝BE．

【解析】

（1）延長(zhǎng)AC交BE于Q，求出AB＝BQ，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出AC＝CQ，推出AD＝EQ，即可得出答案．

（2）延長(zhǎng)AC交NB于點(diǎn)F，同①可得AB＝BF，再由全等三角形的判定定理得出△ACD≌△FCE，故可得出AD＝EF，由此可得出結(jié)論．

解：（1）AB＝AD＋BE；理由如下：

延長(zhǎng)AC交BE于Q，如圖1所示：

∵AC平分∠MAB，

∴∠MAC＝∠BAC，

∵AM∥BN，

∴∠MAC＝∠AQB，

∴∠BAC＝∠AQB，

∴AB＝BQ，

∵BC平分∠ABN，

∴AC＝CQ，

∵AM∥BN，

∴△ACD∽△QCE，

∴

∴AD＝EQ，

∴AD＋BE＝AB．

（2）（1）的結(jié)論不成立，ADAB＝BE．理由如下：

延長(zhǎng)AC交BE于點(diǎn)F，如圖2所示：

∵AM∥BN，

∴∠MAC＝∠AFB．

∵AC是∠MAB的平分線(xiàn)，

∴∠MAC＝∠BAC，

∴∠BAC＝∠AFB，

∴AB＝BF．

∵AC⊥BC，

∴AC＝CF．

∵AM∥BN，

∴∠DAC＝∠EFC，

在△ACD與△FCE中，

，

∴△ACD≌△FCE（ASA），

∴AD＝EF，

∴ADAB＝BE．