Question

【題目】如圖，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=2，CD平分∠ACB交邊AB與點D，P是射線CD上一點，聯結AP．

（1）求線段CD的長；

（2）當點P在CD的延長線上，且∠PAB=45°時，求CP的長；

（3）記點M為邊AB的中點，聯結CM、PM，若△CMP是等腰三角形，求CP的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）CP的長是或或．

【解析】分析：（1）作輔助線，證明四邊形ECFD是正方形，設DF=x，則CF=x，BF=2﹣x，由△BDF∽△BAC，得，可得CD的長；

（2）如圖2，作輔助線，構建全等三角形，先根據C、B、P、A四點共圓，得∠APB=90°，可知AP=BP，由角平分線性質得：PM=PN，根據HL證明Rt△PMA≌Rt△PNB（HL），得AM=BN，設AM=x，則PM=CM=x+1，CN=2﹣x，由CM=CN列方程可得x的值，可得CD的長；

（3）存在三種情況：

①當PM=CM時，如圖3，同理作出輔助線，根據△PCM是等腰直角三角形，可得CP的長；

②先根據勾股定理求AB=，根據直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得CP的長；

③由△CPN∽△CMH，列比例式結合①可得CP的長．

詳解：（1）如圖1，過D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F．

∵DF平分∠ACB，∠ACB=90°，∴DE=DF．

∵∠DEC=∠ACB=∠CFD=90°，

∴四邊形ECFD是正方形．

設DF=x，則CF=x，BF=2﹣x．

∵DF∥AC，∴△BDF∽△BAC，

∴，∴x=．

∵△CDE是等腰直角三角形，∴CD=；

（2）如圖2．∵∠PAB=∠PCB=45°，

∴C、B、P、A四點共圓，∴∠ACB+∠APB=180°．

∵∠ACB=90°，∴∠APB=90°，

∴△APB是等腰直角三角形，∴AP=BP．

過P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，連接PB．

∵PM=PN，∴R△PMA≌Rt△PNB（HL），∴AM=BN．

由（1）知：四邊形MCNP是正方形，∴CM=CN．

設AM=x，則PM=CM=x+1，CN=2﹣x，

∴x+1=2﹣x，x=，∴CM=，∴CP=；

（3）若△CMP是等腰三角形，存在三種情況：

①當PM=CM時，如圖3，同理作出輔助線．

∵∠PCN=45°，∴△PCM是等腰直角三角形，∴CN=PN，

同（2）得：CP=；

②Rt△ACB中，AC=1，BC=2，∴AB=．

∵M是AB的中點，∴CM=CP=AB=；

③作CM的中垂線交CD于P，則CP=PM，過M作MH⊥CD于H．

由①知：CG（就是CP=）=，CH=．

∵△CPN∽△CMH，∴=，CP=．

綜上所述：CP的長是或或．