Question

【題目】在平面直角坐標系中，記與的函數（≠0，n≠0）的圖象為圖形G, 已知圖形G與軸交于點，當時，函數有最小（或最大）值n, 點B的坐標為(, )，點A、B關于原點O的對稱點分別為C、D，若A、B、C、D中任何三點都不在一直線上，且對角線AC，BD的交點與原點O重合，則稱四邊形ABCD為圖形G的伴隨四邊形，直線AB為圖形G的伴隨直線.

（1）如圖，若函數的圖象記為圖形G，求圖形G的伴隨直線的表達式；

（2）如圖，若圖形G的伴隨直線的表達式是，且伴隨四邊形的面積為12，求與的函數（m＞0，n ＜0）的表達式；

（3）如圖，若圖形G的伴隨直線是，且伴隨四邊形ABCD是矩形，求點B的坐標.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）先利用拋物線解析式確定A點和B點坐標，然后利用待定系數法求伴隨直線的解析式；

（2）如圖2，作BE⊥AC于點E，利用一次函數解析式和關于原點對稱的坐標特征得到A（0，-3）和C（0，3），再利用平行四邊形ABCD的面積為12可求出BE=2，則B點的橫坐標為2，則利用頂點B在直線上得到頂點B的坐標為（2，-1），則設頂點式y=a（x-2）2-1，然后把A點坐標代入求出a即可得到拋物線解析式；

（3）如圖，作軸于點,由在直線上，可得點B的坐標為（，），在Rt△OEB中，由勾股定理求出m的值，從而可求出點B的坐標.

（1）由題意得，

設所求伴隨直線的表達式為，

則

解，得

所以函數y=（x-2）2+1的伴隨直線的表達式是；

（2）如圖，作BE⊥AC于點E,

由題意知，

OC=OA，OB=OD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形.

∵，，

∴，

∵平行四邊形ABCD的面積為12，

∴，

即,

∴ ，

∵＞0，即頂點B在軸的右側，且在直線上，

∴，

又圖形G經過點,

設頂點式y=a（x-2）2-1，

∴4a=-2，

，

；

（3）如圖，作軸于點,

由已知得：，，

∵在直線上，

∴，即點B的坐標為（，），

∵矩形，

∴= 4，

∴，

在Rt△OEB中

，

∴，

∴（不合題意，舍去），，

∴ ，

∴點的坐標為.