Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，為坐標原點，矩形的頂點、，將矩形的一個角沿直線折疊，使得點落在對角線上的點處，折痕與軸交于點.

（1）線段的長度為__________；

（2）求直線所對應的函數解析式；

（3）若點在線段上，在線段上是否存在點，使四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）15；（2）；（3）

【解析】

（1）根據勾股定理即可解決問題；
（2）設AD=x，則OD=OA=AD=12-x，根據軸對稱的性質，DE=x，BE=AB=9，又OB=15，可得OE=OB-BE=15-9=6，在Rt△OED中，根據OE2+DE2=OD2，構建方程即可解決問題；
（3）過點E作EP∥BD交BC于點P，過點P作PQ∥DE交BD于點Q，則四邊形DEPQ是平行四邊形，再過點E作EF⊥OD于點F，想辦法求出最小PE的解析式即可解決問題。

解：（1）在Rt△ABC中，∵OA=12，AB=9，

故答案為15．

（2）如圖，

設，則

根據軸對稱的性質，，

又，

∴，

在中，，

即，則，

∴，

∴

設直線所對應的函數表達式為：

則，

解得

∴直線所對應的函數表達式為：．

故答案為：

（3）過點作交于點，過點作交于點，則四邊形是平行四邊形，再過點作于點，

由

得，即點的縱坐標為，

又點在直線：上，

∴，解得，

由于，所以可設直線，

∵在直線上

∴，解得

∴直線為，

令，則，解得，

∴