Question

【題目】給定一個函數，如果這個函數的圖象上存在一個點，它的橫、縱坐標相等，那么這個點叫做該函數的不變點．

（1）一次函數的不變點的坐標為______．

（2）二次函數的兩個不變點分別為點（在的左側），將點繞點順時針旋轉90°得到點，求點的坐標．

（3）已知二次函數的兩個不變點的坐標為．

①求的值；

②如圖，設拋物線與線段圍成的封閉圖形記作．點為一次函數的不變點，以線段為邊向下作正方形．當兩點中只有一個點在封閉圖形的內部（不包含邊界）時，求出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（1，1）；（2），；（3）①，②或

【解析】

（1）聯立一次函數y＝3x﹣2與y＝x組成方程組，解之即可得出結論；

（2）聯立二次函數y＝x2﹣3x+1與y＝x組成方程組，解之即可得出點P、Q的坐標，由點P、Q在直線y＝x上，可得出△PQR為等腰直角三角形，過點P作PP′⊥QR，垂足為點P′，根據等腰直角三角形的性質即可得出點R的坐標；

（3）①根據點A、B的坐標，利用待定系數法即可求出a、b的值；

②聯立一次函數y＝﹣x+m與y＝x成方程組，解之即可得出點C的坐標，根據正方形的性質可得出點D、E的坐標，分只有點D在圖形M的內部及只有點E在圖形M的內部兩種情況找出關于m的不等式組，解之即可得出結論（對于只寫答案不寫過程的可以直接代入點D、E的坐標，利用極限法找出m的取值范圍）．

解：（1）根據題意得：，

解得：，

∴一次函數y＝3x﹣2的不動點的坐標為（1，1）．

（2）根據題意得：，

解得：，，

，，，．

∵點P、Q在直線y＝x上，

∴∠QPR＝45°，

∴△PQR為等腰直角三角形．

過點P作PP′⊥QR，垂足為點P′，如圖1所示．

，，，，

，，，

，．

（3）①∵二次函數y＝ax2+bx﹣3的兩個不變點的坐標為A（﹣1，﹣1）、B（3，3），

，

解得：．

②，解得：，

點的坐標為，．

∵四邊形ACDE為正方形，點A、C在直線y＝x上，A（﹣1，﹣1），

，，點，．

當只有點在圖形的內部時，有，

解得；

當只有點在圖形的內部時，有，

解得：．

綜上所述：的取值范圍為或．