Question

如圖，在矩形ABCD中，E、F分別是邊AD、BC的中點，點G、H在DC邊上，且GH=DC，EH與FG相交于O點．
（1）求證：△EFO∽△HGO；
（2）若AB=10，BC=12，求圖中陰影部分面積．

Answer 1

解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵E、F分別是邊AD、BC的中點，
∴ED∥FC，ED=FC，
∴四邊形EFCD是平行四邊形，
∴EF∥DC，
∴△EFO∽△HGO；

（2）過O作直線MN⊥EF于M，交CD于N，
則ON⊥DC，MN=CF=BC=6，
∵GH=DC，
∴GH=EF，
∵△EFO∽△HGO，
∴=2，
∴OM=4，ON=2，
∴S_△EOF=EF•OM=×10×4=20，S_△GOH=GH•ON=×5×2=5，
∵S_矩形EFCD=10×6=60，
∴S_陰=60-20-5=35．
分析：（1）由四邊形ABCD是矩形，可得AD∥BC，AD=BC，又由E、F分別是邊AD、BC的中點，可證得四邊形EFCD是平行四邊形，即可證得：△EFO∽△HGO；
（2）首先過O作直線MN⊥EF于M，交CD于N，則可證得△EFO∽△HGO，由相似三角形的對應邊成比例，可求得OM，ON的值，繼而求得△OEF與△OGH的面積，則可求得陰影部分的面積．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、矩形的性質以及平行四邊形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用，注意掌握輔助線的作法．