Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC⊥BD，順次連接四邊形ABCD各邊中點，得到四邊形A1B1C1D1 ， 再順次連接四邊形A1B1C1D1各邊中點，得到四邊形A2B2C2D2 ， 如此進行下去，得到四邊形AnBnCnDn ．
（1）求證：四邊形A1B1C1D1是矩形；
（2）四邊形A3B3C3D3是形；
（3）四邊形A1B1C1D1的周長為；
（4）四邊形AnBnCnDn的面積為 ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵在四邊形ABCD中，順次連接四邊形ABCD 各邊中點，得到四邊形A1B1C1D1，

∴A1D1∥BD，B1C1∥BD，C1D1∥AC，A1B1∥AC；

∴A1D1∥B1C1，A1B1∥C1D1，

∴四邊形A1B1C1D1是平行四邊形；

∵AC丄BD，

∴四邊形A1B1C1D1是矩形

（2）矩
（3）a+b
（4）
【解析】（2）解：∵四邊形A1B1C1D1是矩形， ∴B1D1=A1C1（矩形的兩條對角線相等）；
∴A2D2=C2D2=C2B2=B2A2（中位線定理），
∴四邊形A2B2C2D2是菱形；
∴四邊形A3B3C3D3是矩形，
所以答案是：矩； （3）解：根據三角形中位線定理可得D1C1=A1B1= AC= a，A1D1=B1C1= BC= b．故四邊形A1B1C1D1是的周長為a+b，
所以答案是：a+b．（4）解：∵四邊形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC丄BD，
∴S四邊形ABCD=ab÷2；
由三角形的中位線的性質可以推知，每得到一次四邊形，它的面積變為原來的一半，
四邊形AnBnCnDn的面積是 ．
所以答案是： ．