Question

【題目】在△ABC中，D是BC的中點，且AD=AC，DE⊥BC，與AB相交于點E，EC與AD相交于點F．

（1）求證：△ABC∽△FCD；
（2）若DE=3，BC=8，求△FCD的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵D是BC的中點，DE⊥BC，

∴BE=CE，

∴∠B=∠DCF，

∵AD=AC，

∴∠FDC=∠ACB，

∴△ABC∽△FCD.

（2）解：過A作AG⊥CD，垂足為G．

∵AD=AC，

∴DG=CG，

∴BD：BG=2：3，

∵ED⊥BC，

∴ED∥AG，

∴△BDE∽△BGA，

∴ED：AG=BD：BG=2：3，

∵DE=3，

∴AG= ，

∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，

∴ =（ ）2= ．

∵S△ABC= ×BC×AG= ×8× =18，

∴S△FCD= S△ABC= ．

【解析】（1）先證明∠B=∠DCF和∠FDC=∠ACB，可證得△ABC∽△FCD；
（2）過A作AG⊥CD，垂足為G．先證明△BDE∽△BGA，再由相似三角形的性質求得AG的長，由（1）知△ABC∽△FCD，利用面積比等于相似比的平方可求得△ABC的面積，進而可求得△FCD的面積.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解相似三角形的判定與性質的相關知識，掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．