Question

如圖，AB為半圓O的直徑，D、E是半圓上的兩點，且BD平分∠ABE，過點D作BE延長線的垂線，垂足為C，直線CD交BA的延長線于點F．
（1）求證：直線CD是半圓O的切線；
（2）若FA=2，OA=3，求BC的長．

Answer 1

分析：（1）連接OD，通過證明OD∥BC得出結論．
（2）證明△FOD∽△FBC，再根據相似三角形的性質求出BC的長．

解答：解：（1）（5分）證明：連接OD

∵OD=OB
∴∠ABD=∠BDO（1分）
又∵BD平分∠ABE
∴∠CBD=∠ABD
∴∠CBD=∠BDO（1分）
∴OD∥BC（1分）
∵CD⊥BC
∴DC⊥OD（1分）
∴直線CD是半圓O的切線（1分）

（2）（5分）解：∵OD∥BC
∴△FOD∽△FBC（1分）
∴

OD

BC

=

FO

FB

（2分）
∴

3

BC

=

5

8

（1分）
∴BC=

24

5

=4.8（1分）

點評：本題綜合考查了切線的判定，相似三角形的判定和性質，會利用比例求線段的長．