Question

【題目】如圖，在直角坐標系中，點的坐標為，，且．

求經過，，三點的拋物線的解析式．

在中拋物線的對稱軸上是否存在點，使的周長最小？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

若點為拋物線上一點，點為對稱軸上一點，是否存在點，使得，，，構成的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為;（2）存在,點C的坐標為.（3）存在,點M的坐標為:、.

【解析】

試題分析: （1）先確定出點B坐標，再用待定系數法即可；

（2）先判斷出使△BOC的周長最小的點C的位置，再求解即可；

（3）分OA為對角線和為邊兩種情況進行討論計算．

試題解析:

（1）過點B作BD⊥x軸于點D，由已知可得：OB=OA=2，∠BOD=60°，

在Rt△OBD中，∠ODB=90°，∠OBD=30°

∴OD=1，DB=

∴點B的坐標是（1，）．

設所求拋物線的解析式為，

由已知可得：，

解得：

∴所求拋物線解析式為.

（2）存在，

∵

又∵OB=2

∴要使△BOC的周長最小，必須BC+CO最小，

∵點O和點A關于對稱軸對稱

∴連接AB與對稱軸的交點即為點C

且有OC=OA

此時；

點C為直線AB與拋物線對稱軸的交點

設直線AB的解析式為，

將點分別代入，得：

，

解得：，

∴直線AB的解析式為，

當x=﹣1時，y=，

∴所求點C的坐標為.

（3）①當以OA為對角線時

OA與MN互相垂直且平分

∴點M

②當以OA為邊時

OA=MN且OA//MN

即MN=2,MN//x軸

設N（-1，t）

則M（-3，t）或（1，t）

綜上：點M的坐標為：、