Question

【題目】如圖，直線y=﹣ x+6分別交x軸、y軸于A、B兩點，拋物線y=﹣ x2+8，與y軸交于點D，點P是拋物線在第一象限部分上的一動點，過點P作PC⊥x軸于點C．

（1）點A的坐標為 ， 點D的坐標為；
（2）探究發現：
①假設P與點D重合，則PB+PC=；（直接填寫答案）
②試判斷：對于任意一點P，PB+PC的值是否為定值？并說明理由；
（3）試判斷△PAB的面積是否存在最大值？若存在，求出最大值，并求出此時點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）（4,0）,（0,8）
（2）PB+PC=10,是,理由如下：過點P作PQ⊥y軸于點Q,∵P在拋物線上,且在第一象限,∴設P點坐標為（x,﹣ x2+8）．則PQ=x,PC=﹣ x2+8．當4≤x＜8時,PB= = x2+2,∴PB+PC= x2+2+（﹣ x2）+8=10,當0＜x＜4時,同理可得；
（3）△PAB的面積存在最大值，且最大值為13，此時點P的坐標為（6， ）

解：存在．

設△PAB的面積為S．

由（2）假設．

當4≤x＜8時，有S=

=﹣ x2+3x+4=﹣ （x﹣6）2+13．

當0＜x＜4時，s=﹣ （x﹣6）2+13．

當x=6時，S最大=13，y=﹣ ×36+8= ，

∴△PAB的面積存在最大值，且最大值為13，此時點P的坐標為（6， ）

【解析】

解：（1）y=﹣ x+6當y=0時，x=4，即A（4，0），

y=﹣ x2+8當x=0時，y=8，即D點坐標（0，8），

所以答案是：（4，0），（0，8）；（2）①PB=PO﹣OB=8﹣6=2，PB+PC=8+2=10；