Question

如圖，點A₁、A₂、A₃、…、A_n在拋物線y=x²圖象上，點B₁、B₂、B₃、…、B_n在y軸上，若△A₁B₀B₁、△A₂B₁B₂、…、△A_nB_n-1B_n都為等腰直角三角形（點B₀是坐標原點），則△A₂₀₁₃B₂₀₁₂B₂₀₁₃的腰長=

2013

2

．

Answer 1

分析：利用等腰直角三角形的性質及點的坐標的關系求出第一個等腰直角三角形的腰長，用類似的方法求出第二個，第三個…的腰長，觀察其規律，最后得出結果．

解答：解：作A₁C⊥y軸，A₂E⊥y軸，垂足分別為C、E，
∵△A₁B₀B₁、△A₂B₁B₂都是等腰直角三角形，
∴B₁C=B₀C=DB₀=A₁D，B₂E=B₁E，
設A₁（a，b），
將點A的坐標代入a解析式y=x²得：a=a²，
解得：a=0（不符合題意）或a=1，由勾股定理得：A₁B₀=

2

，
則B₁B₀=2，
過B₁作B₁N⊥A₂F，設點A（x₂，y₂），
可得A₂N=y₂-2，B₁N=x₂=y₂-2，
又點A₂在拋物線上，所以y₂=x₂²，即（x₂+2）=x₂²，
解得x₂=2，x₂=-1（不合題意舍去），
則A₂B₁=2

2

，同理可得：A₃B₂=3

2

，A₄B₃=4

2

…
∴A₂₀₁₃B₂₀₁₂=2013

2

，
∴△A₂₀₁₃B₂₀₁₂B₂₀₁₃的腰長為：2013

2

．
故答案為：2013

2

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點評：此題主要考查了二次函數的綜合題以及在函數圖象中利用點的坐標與圖形的關系求線段的長度，涉及到了等腰三角形的性質，勾股定理，拋物線的解析式的運用等多個知識點．