Question

如圖，點(diǎn)A₁、A₂、A₃、…、A_n在拋物線y=x²圖象點(diǎn)B₁、B₂、B₃、…、B_n在y軸上，若△A₁B₀B₁、△A₂B₁B₂、…、△A_nB_n-1B_n都為等腰直角三角形（點(diǎn)B₀是坐標(biāo)原點(diǎn)），則△A₂₀₁₂B₂₀₁₁B₂₀₁₂的腰長=

2012

2

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Answer 1

分析：利用等腰直角三角形的性質(zhì)及點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系求出第一個等腰直角三角形的腰長，用類似的方法求出第二個，第三個…的腰長，觀察其規(guī)律，最后得出結(jié)果．

解答：解：作A₁C⊥y軸，A₂E⊥y軸，垂足分別為C、E．
∵△A₁BOB₁、△A₂B₁B₂都是等腰直角三角形
∴B₁C=B₀C=DB₀=A₁D，B₂E=B₁E
設(shè)A₁（a，b）∴a=b將其代入解析式y(tǒng)=x²得：
∴a=a²
解得：a=0（不符合題意）或a=1，由勾股定理得：A₁B₀=

2

，
∴B₁B₀=2，
過B₁作B₁N⊥A₂F，設(shè)點(diǎn)A（x₂，y₂）
可得A₂N=y₂-2，B₁N=x₂=y₂-2，
又點(diǎn)A₂在拋物線上，所以y₂=x₂²，
（x₂+2）=x₂²，
解得x₂=2，x₂=-1（不合題意舍去），
∴A₂B₁=2

2

，
同理可得：
A₃B₂=3

2

A₄B₃=4

2

   …
∴A₂₀₁₂B₂₀₁₁=2012

2

∴△A₂₀₁₂B₂₀₁₁B₂₀₁₂的腰長為：2012

2

故答案為：2012

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點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合題以及在函數(shù)圖象中利用點(diǎn)的坐標(biāo)與圖形的關(guān)系求線段的長度，涉及到了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，拋物線的解析式的運(yùn)用等多個知識點(diǎn)．