Question

如圖所示，AD∥BC，梯形ABCD的面積是180，E是AB的中點，F是BC邊上的點，且AF∥CD，AF分別交ED，BD于G，H，設

BC

AD

=m，m是整數．
（1）若m=2，求△GHD的面積；
（2）若△GHD的面積為整數，求m的值．

Answer 1

分析：（1）若m=2，即BC=2AD，且四邊形AFCD為平行四邊形，可知F為BC中點，加上已知E為AB中點，可知G為△ABD的重心，從而求出AG和GH的比例關系，利用已知的總面積進而求出未知三角形在原圖形中所占的比例，
（2）在（1）的基礎之上，先求出△DHG面積，用m表示出來，進而考慮△DHG面積為整數時，m的取值．

解答：解：（1）∵AF∥CD，
∴四邊形AFCD為平行四邊形，
∴FC=AD=

1

2

BC，
∴F是BC的中點，
∴H為BD中點，
又∵E是AB的中點，故G為△ABD的重心，因此GH=

1

2

AG．（3分）
∴S△ABD=

1

3

SABCD=60，S△AHD=

1

2

S△ABD=30，S△GHD=

1

3

S△AHD=10．（6分）

（2）作BK∥AF交ED于K，
則△KEB≌△GEA，
∴AG=KB，
∴

GH

AG

=

GH

KB

=

HD

BD

=

FC

BC

=

AD

BC

=

1

m

．（9分）
∴S_△ABD：S_△BCD=1：m，
∴S△ABD=

1

m+1

SABCD=

180

m+1

．S△AHD=

1

m

S△ABD=

180

m(m+1)

，
S△GHD=

1

m+1

S△AHD=

180

m(m+1)2

．（12分）
即

180

m(m+1)2

為整數，因為180=2²×3²×5，所以m+1=2，3或6．
經驗證，m+1=3或6，即m=2或5．（15分）

點評：解此題的關鍵是利用平行四邊形的性質和重心的相關知識，來解決相關證明和計算．