Question

已知：如圖，AB為⊙O的直徑，弦AC∥OD，BD切⊙O于B，連接CD．
（1）判斷CD是否為⊙O的切線，若是請證明；若不是請說明理由；
（2）若AC=2，OD=6，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）欲證CD是否為⊙O的切線，只須連接OC，證明OC⊥CD即可；
（2）連接BC交OD于E，先證明△OBE∽△ODB或△ABC∽△ODB，再根據相似三角形的性質及中位線的性質，即可求出⊙O的半徑．

解答：解：（1）判斷：CD是⊙O的切線
證明：連接OC（1分）
∵AC∥OD
∴∠A=∠BOD，∠ACO=∠COD
∵OA=OC
∴∠A=∠ACO
∴∠BOD=∠COD
∵OB=OC，OD為公共邊
∴△BOD≌△COD
∴∠B=∠OCD
∵BD是⊙O的切線，AB為直徑
∴∠ABD=90°
∴∠OCD=90°（2分）
∴CD是⊙O的切線

（2）連接BC交OD于E
∵CD和BD都是⊙O的切線
∴CD=BD，∠CDO=∠BDO
∴BC⊥OD，BE=CE，∠OBD=90°
∴△OBE∽△ODB
∴

OB

OD

=

OE

OB

（3分）
由BE=CE，OA=OB
得OE為△ABC的中位線
即OE=

1

2

AC=1
∴

OB

6

=

1

OB

得OB=±

6

（舍負）（5分）
∴⊙O的半徑為

6

注：還可以證明△ABC∽△ODB

點評：此題綜合考查圓的切線的判定，三角形相似的判定與性質及中位線的性質等知識，難度較大．