Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，O、D分別為AB、BC上的點．經過A、D兩點的⊙O分別交AB、AC于點E、F，且D為

EF

的中點．
（1）求證：BC與⊙O相切；
（2）當AD=2

3

，∠CAD=30°時．求

AD

的長．

Answer 1

（1）證明：連接OD，則OD=OA．
∴∠OAD=∠ODA（等邊對等角）；
∵

DE

=

DF

，
∴∠OAD=∠CAD，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AC；
又∵∠C=90°，
∴∠ODC=90°，即BC⊥OD
∴BC與⊙O相切；

（2）連接DE，則∠ADE=90°．
∵∠OAD=∠ODA=∠CAD=30°，
∴∠AOD=120°；
在Rt△ADE中，易求AE=

AD

cos∠EAD

=

2 3

3 2

=4，
∴⊙O的半徑r=2，
∴

AD

的長=

120π×2

180

=

4

3

π．