Question

如圖，在直角坐標系中，點A的坐標為（0，10），點B的坐標為（5，0），點P從A開始在線段AO上以3單位/秒的速度移動，點Q從B開始在線段BO上以1單位/秒的速度移動，當其中一個點到達O時，另一點也隨即停止運動．設運動的時間為t（秒）．以P、Q為圓心作⊙P和⊙Q，且⊙P和⊙Q的半徑分別為4和1．
（1）在運動的過程中若⊙P與Rt△AOB的一邊相切，求此時動點P的坐標；
（2）若⊙P與線段AB有兩個公共點，求t的范圍；
（3）在運動的過程中，是否存在某一時刻⊙P和⊙Q相切？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）當⊙P與AB相切時，
設AP=x，則有x：5

5

=4：5，解得x=4

5

，所以OP=10-4

5

．
即P₁（0，10-4

5

）；
當⊙P與OB相切時，OP=4，所以P₂（0，4）．

（2）當4≤OP＜4

5

時，⊙P與線段AB有兩個公共點，即

4

3

≤t＜

4 5

3

．

（3）若兩圓外切，（10-3t）²+（5-t）²=25，
則t=2或t=5（舍去）；
若兩圓內切，（10-3t）²+（5-t）²=9，
t=

35± 65

10

．
只取t=2，或t=

35- 65

10

．