Question

如圖，AB是⊙O的直徑，經過圓上點D的直線CD恰∠ADC=∠B。

（1）求證：直線CD是⊙O的的切線；
（2）過點A作直線AB的垂線交BD的延長線于點E，且AB=，BD=2，求線段AE的長。

Answer 1

解：（1）證明：連接OD，

∵OB=OD，∴∠ODB=∠B。
又∵∠ADC=∠B，∴∠ODB=∠ADC。
∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90⁰。
∴∠ODC=∠ADC ＋∠ADO= ∠ODB＋∠ADO= ∠ADB=90⁰。
又 ∵OD是⊙O的半徑，∴直線CD是⊙O的的切線。
BC=OC﹣OB=30﹣20=10（千米）。
（2）在Rt△ABD中，∵AB=，BD=2，∴根據勾股定理得AD=1。
∵AE⊥AB，∴∠EAB=90⁰。∴∠EAB=∠ADB =90⁰。
又∵∠B=∠B，∴△ABD∽△EBA。∴，即。∴。

（1）連接OD，只要證明∠ODC=∠ADC ＋∠ADO= ∠ODB＋∠ADO= ∠ADB=90⁰即可。
（2）根據勾股定理求得AD=1，則由△ABD∽△EBA可列比例式求解。