Question

【題目】如圖1，直角梯形OABC中，BC∥OA，OA=6，BC=2，∠BAO=45°．

（1）OC的長為　 　；

（2）D是OA上一點，以BD為直徑作⊙M，⊙M交AB于點Q．當⊙M與y軸相切時，sin∠BOQ=　 　；

（3）如圖2，動點P以每秒1個單位長度的速度，從點O沿線段OA向點A運動；同時動點D以相同的速度，從點B沿折線B﹣C﹣O向點O運動．當點P到達點A時，兩點同時停止運動．過點P作直線PE∥OC，與折線O﹣B﹣A交于點E．設點P運動的時間為t（秒）．求當以B、D、E為頂點的三角形是直角三角形時點E的坐標．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）；（3）點E的坐標為（1，2）、（，）、（4，2）．

【解析】分析：（1）過點B作BH⊥OA于H，如圖1（1），易證四邊形OCBH是矩形，從而有OC=BH，只需在△AHB中運用三角函數求出BH即可．

（2）過點B作BH⊥OA于H，過點G作GF⊥OA于F，過點B作BR⊥OG于R，連接MN、DG，如圖1（2），則有OH=2，BH=4，MN⊥OC．設圓的半徑為r，則MN=MB=MD=r．在Rt△BHD中運用勾股定理可求出r=2，從而得到點D與點H重合．易證△AFG∽△ADB，從而可求出AF、GF、OF、OG、OB、AB、BG．設OR=x，利用BR2=OB2﹣OR2=BG2﹣RG2可求出x，進而可求出BR．在Rt△ORB中運用三角函數就可解決問題．

（3）由于△BDE的直角不確定，故需分情況討論，可分三種情況（①∠BDE=90°，②∠BED=90°，③∠DBE=90°）討論，然后運用相似三角形的性質及三角函數等知識建立關于t的方程就可解決問題．

詳解：（1）過點B作BH⊥OA于H，如圖1（1），則有∠BHA=90°=∠COA，∴OC∥BH．

∵BC∥OA，∴四邊形OCBH是矩形，∴OC=BH，BC=OH．

∵OA=6，BC=2，∴AH=0A﹣OH=OA﹣BC=6﹣2=4．

∵∠BHA=90°，∠BAO=45°，

∴tan∠BAH==1，∴BH=HA=4，∴OC=BH=4．

故答案為：4．

（2）過點B作BH⊥OA于H，過點G作GF⊥OA于F，過點B作BR⊥OG于R，連接MN、DG，如圖1（2）．

由（1）得：OH=2，BH=4．

∵OC與⊙M相切于N，∴MN⊥OC．

設圓的半徑為r，則MN=MB=MD=r．

∵BC⊥OC，OA⊥OC，∴BC∥MN∥OA．

∵BM=DM，∴CN=ON，∴MN=（BC+OD），∴OD=2r﹣2，∴DH==．

在Rt△BHD中，∵∠BHD=90°，∴BD2=BH2+DH2，∴（2r）2=42+（2r﹣4）2．

解得：r=2，∴DH=0，即點D與點H重合，∴BD⊥0A，BD=AD．

∵BD是⊙M的直徑，∴∠BGD=90°，即DG⊥AB，∴BG=AG．

∵GF⊥OA，BD⊥OA，∴GF∥BD，∴△AFG∽△ADB，

∴===，∴AF=AD=2，GF=BD=2，∴OF=4，

∴OG===2．

同理可得：OB=2，AB=4，∴BG=AB=2．

設OR=x，則RG=2﹣x．

∵BR⊥OG，∴∠BRO=∠BRG=90°，∴BR2=OB2﹣OR2=BG2﹣RG2，

∴（2）2﹣x2=（2）2﹣（2﹣x）2．

解得：x=，∴BR2=OB2﹣OR2=（2）2﹣（）2=，∴BR=．

在Rt△ORB中，sin∠BOR===．

故答案為：．

（3）①當∠BDE=90°時，點D在直線PE上，如圖2．

此時DP=OC=4，BD+OP=BD+CD=BC=2，BD=t，OP=t． 則有2t=2．

解得：t=1．則OP=CD=DB=1．

∵DE∥OC，∴△BDE∽△BCO，∴==，∴DE=2，∴EP=2，

∴點E的坐標為（1，2）．

②當∠BED=90°時，如圖3．

∵∠DBE=OBC，∠DEB=∠BCO=90°，∴△DBE∽△OBC，

∴==，∴BE=t．

∵PE∥OC，∴∠OEP=∠BOC．

∵∠OPE=∠BCO=90°，∴△OPE∽△BCO，

∴==，∴OE=t．

∵OE+BE=OB=2t+t=2．

解得：t=，∴OP=，OE=，∴PE==，

∴點E的坐標為（）．

③當∠DBE=90°時，如圖4．

此時PE=PA=6﹣t，OD=OC+BC﹣t=6﹣t．

則有OD=PE，EA==（6﹣t）=6﹣t，

∴BE=BA﹣EA=4﹣（6﹣t）=t﹣2．

∵PE∥OD，OD=PE，∠DOP=90°，∴四邊形ODEP是矩形，

∴DE=OP=t，DE∥OP，∴∠BED=∠BAO=45°．

在Rt△DBE中，cos∠BED==，∴DE=BE，

∴t=t﹣2）=2t﹣4．

解得：t=4，∴OP=4，PE=6﹣4=2，∴點E的坐標為（4，2）．

綜上所述：當以B、D、E為頂點的三角形是直角三角形時點E的坐標為（1，2）、（）、（4，2）．