Question

如圖①，正方形ABCD中，點A、B的坐標分別為（0，10），（8，4），點C在第一象限，動點P在正方形ABCD的邊上，從點A出發沿A→B→C→D勻速運動，同時動點Q以相同速度在x軸正半軸上運動，當P點到達D點時，兩點同時停止運動，設運動的時間為t秒。
（1）當P點在邊AB上運動時，點Q的橫坐標x（單位長度）關于運動時間t（秒）的函數圖象如圖②所示，請 寫出點Q開始運動時的坐標及點P的運動速度；
（2）求正方形的邊長及頂點C的坐標；
（3）在（1）中當t為何值時，△OPQ的面積最大，并求此時P點的坐標；
（4）如果點P、Q保持原速度不變，當點P沿A→B→C→D勻速運動時，OP與PQ能否相等，若能，寫出所有符合條件的t的值；若不能，請說明理由。

Answer 1

解：（1）Q（1，0），點P的運動速度為每秒1個單位長度；
（2）如圖，過點B作BF ⊥y軸于點F，BE⊥ x軸于點E，

則BF=8，OF=BE=4，
∴AF=10-4=6，
在Rt△AFB中，

過點C作CG⊥x軸于點G，與FB的延長線交于點H，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABF=∠BCH，
又∵∠AFB=∠BHC=90°，AB=BC，
∴△ABF≌△BCH，
∴BH=AF=6，CH=BF=8，
∴OG=FH=8+6=14，CG=8+4=12，
∴所求C點的坐標為（14，12）；
（3）如圖，過點P作PM⊥y軸于點M，PN⊥x軸于點N，
則△APM∽△ABF，
∴，
∴
∴PN=OM=10-，
設△OPQ的面積為S（平方單位），
則，
∵
∴當時，△OPQ的面積最大，
此時P點的坐標為；
 （4）當或時，OP與PQ相等。