Question

【題目】概念認識

平面內，M為圖形T上任意一點，N為⊙O上任意一點，將M、N兩點間距離的最小值稱為圖形T到⊙O的“最近距離”，記作d（T﹣⊙O）．例如圖①，在直線l上有A、B、O三點，以AB為一邊作等邊△ABC，以點O為圓心作圓，與l交于D、E兩點，若將△ABC記為圖形T，則B、D兩點間的距離稱為圖形T到⊙O的“最近距離”．

數學理解

（1）在直線l上有A、B兩點，以點A為圓心，3為半徑作⊙A，將點B記為圖形T，若d（T﹣⊙A）＝1，則AB＝　 　．

（2）如圖②，在平面直角坐標系中，以O（0，0）為圓心，半徑為2作圓．

①將點C（4，3）記為圖形T，則d（T﹣⊙O）＝　 　．

②將一次函數y＝kx+2的圖記為圖形T，若d（T﹣⊙O）＞0，求k的取值范圍．

推廣運用

（3）在平面直角坐標系中，P的坐標為（t，0），⊙P的半徑為2，D、E兩點的坐標分別為（﹣8，8）、（﹣8，﹣8），將∠DOE記為圖形T，若d（T﹣⊙P）＝1，則t＝　 　．

Answer 1

【答案】（1）2或4；（2）①3；②﹣1＜k＜1且k≠0；（3）﹣3或3．

【解析】

（1）根據d（T﹣⊙A）＝1可得CB＝CB′＝1，由AC＝3即可得出答案；

（2）①連接OC并求出OC的長度即可得出答案；

②設直線y＝kx+與y軸的交點為D，與⊙O相切于E，K，連接OK，OE，求出DK、DE的長度證明四邊形DEOK是正方形，得到∠ODE＝∠ODK＝45°，然后根據d（T﹣⊙O）＞0即可得出答案；

（3）分兩種情形：①如圖31中，當點P在∠DOE內部時，作PM⊥OD于M，交⊙P于K．②如圖32中，當點P在∠DOE的外側時，分別求解即可．

解：（1）如圖1中，

∵d（T﹣⊙A）＝1，

∴CB＝CB′＝1，

∵AC＝3，

∴AB′＝2，AB＝4．

故答案為2或4．

（2）①如圖2中，連接OC交⊙O于E．

∵C（4，3），

∴OC＝＝5，

∵OE＝2，

∴EC＝3，

∴d（T﹣⊙O）＝3．

故答案為3．

②如圖，設直線y＝kx+與y軸的交點為D，與⊙O相切于E，K．連接OK，OE．

∵OE⊥DE，OK⊥DK，OD＝，OE＝OK＝2，

∴DK＝＝2，DE＝＝2，

∴DE＝OE＝DK＝OK，

∴四邊形DEOK是菱形，

∵∠DKO＝∠DEO＝90°，

∴四邊形DEOK是正方形，

∴∠ODE＝∠ODK＝45°，

∴直線DE的解析式為y＝﹣x+，直線DK的解析式為y＝x+，

∵d（T﹣⊙O）0，

∴觀察圖象可知滿足條件的k的值為﹣1＜k＜1且k≠0．

（3）如圖3﹣1中，當點P在∠DOE內部時，作PM⊥OD于M，交⊙P于K．

∵D（﹣8，8），

∴∠DOP＝45°，

∵d（T﹣⊙P）＝1，

∴PM＝OM＝3，OP＝，

∴t＝﹣．

如圖3﹣2中，當點P在∠DOE的外側時，由題意可知OM＝1，OP＝1+2＝3，t＝3．

綜上所述，滿足條件的t的值為﹣或3．