Question

【題目】 （2016浙江臺州第19題）如圖，點P在矩形ABCD的對角線AC上，且不與點A，C重合，過點P分別作邊AB，AD的平行線，交兩組對邊于點E，F和G，H．

（1）求證：△PHC≌△CFP；

（2）證明四邊形PEDH和四邊形PFBG都是矩形，并直接寫出它們面積之間的關系．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析，面積相等．

【解析】

試題分析：（1）由矩形的性質得出對邊平行，再根據平行線的性質得出相等的角，結合全等三角形的判定定理AAS即可得出△PHC≌△CFP；

（2）由矩形的性質找出∠D=∠B=90°，再結合對邊互相平行即可證出四邊形PEDH和四邊形PFBG都是矩形，通過角的正切值，在直角三角形中表示出直角邊的關系，利用矩形的面積公式即可得出兩矩形面積相等．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD為矩形，∴AB∥CD，AD∥BC．

∵PF∥AB，∴PF∥CD，∴∠CPF=∠PCH．

∵PH∥AD，∴PH∥BC，∴∠PCF=∠CPH．

在△PHC和△CFP中，∵∠CPF=∠PCH，PC=CP，∠PCF=∠CPH，∴△PHC≌△CFP（ASA）．

（2）∵四邊形ABCD為矩形，∴∠D=∠B=90°．

又∵EF∥AB∥CD，GH∥AD∥BC，∴四邊形PEDH和四邊形PFBG都是矩形．

∵EF∥AB，∴∠CPF=∠CAB．

在Rt△AGP中，∠AGP=90°，PG=AGtan∠CAB．

在Rt△CFP中，∠CFP=90°，CF=PFtan∠CPF．

S矩形DEPH=DEEP=CFEP=PFEPtan∠CPF；

S矩形PGBF=PGPF=AGPFtan∠CAB=EPPFtan∠CAB．

∵tan∠CPF=tan∠CAB，∴S矩形DEPH=S矩形PGBF．