Question

【題目】如圖，內接于，過點的切線與的延長線相交于點，且，點在的延長線上，，．

求證：為的切線．

若，求的長．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析;(2)．

【解析】

（1）連接，由半徑垂直于，利用垂徑定理得到為的中點，可得出兩條弧相等，根據等弧對等角可得出，又為圓的切線，根據弦切角等于夾弧所對的圓周角可得出，等量代換可得出三個角相等，由與垂直得到為直角，可得出三個角都為，再利用同弧所對的圓心角等于所對圓周角的倍，可得出為，又為，在三角形中，利用三角形的內角和定理得到為，根據垂直的定義得到垂直于，即可得出此時為圓的切線；

（2）由，且為，得到三角形為等邊三角形，根據等邊三角形的三邊長相等可得出，由的長得出的長，在直角三角形中，利用銳角三角函數定義表示出，將及的值代入即可求出的長.

連接，如圖所示：

∵，且為圓心，

∴點為的中點，即，

∴，

又為切線，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，又，

∴，

∴，

則為圓切線；

∵，，

∴為等邊三角形，

∴，

在中，，

∴，

則．