Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx﹣4與x軸交于點A（2，0）和點B，與y軸交于點C，頂點為點D，對稱軸為直線x=﹣1，點E為線段AC的中點，點F為x軸上一動點．

（1）直接寫出點B的坐標，并求出拋物線的函數關系式；
（2）當點F的橫坐標為﹣3時，線段EF上存在點H，使△CDH的周長最小，請求出點H，使△CDH的周長最小，請求出點H的坐標；
（3）在y軸左側的拋物線上是否存在點P，使以P，F，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由A、B關于x=﹣1對稱，得

B（﹣4，0），

∵拋物線y=ax2+bx﹣4過A（2，0）、B（﹣4，0），

∴ ，

解得： ，

∴y= x2+x﹣4

（2）

解：如圖1，

當x=0時，y=﹣4，即C（0，﹣4），

y= x2+x﹣4= （x+1）2﹣

∴D（﹣1，﹣ ），

∵E為線段AC的中點，A（2，0），C（0，﹣4），

∴E（1，﹣2）．

∵點F橫坐標為﹣3，

∴F（﹣3，0），

∴AF=5，CF= = =5，

∴AF=CF，

∵E為線段AC的中點，

∴EF垂直平分AC，

∴A、C關于直線EF軸對稱，連接AD，與直線EF交點即為所求H，

∴EF⊥AC．

設直線EF關系式為y=k1x+b1，

∴ ，

解得： ，

∴直線EF：y=﹣ x﹣ ，

設直線AD關系式為y=k2x+b2，

∴ ，

解得： ，

∴y= x﹣3，

聯立AD，EF，得 ，

∴ ，

∴H（ ，﹣ ）

（3）

解：若CD為對角線，不存在；

若CD為邊，則PF∥CD且PF=CD，

∵C（0，﹣4），D（﹣1，﹣ ），點F為x軸上一動點，

如圖2，PDCF是平行四邊形，對角線的縱坐標為﹣ ，P點縱坐標﹣ ，

當y=﹣ 時， x2+x﹣4=﹣ ，解得x1=﹣1+2 （舍），x2=﹣1﹣2 ，

∴P1（﹣1﹣2 ，﹣ ）．

如圖3，PFDC是平行四邊形，對角線的交點坐標為﹣2，P點坐標為 ，

當y= 時， x2+x﹣4= ，解得x1=﹣1+ （舍），x2=﹣1﹣ ，

∴P2（﹣1﹣ ， ）．

綜上所述：在y軸左側的拋物線上存在點P，使以P，F，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形，點P的坐標（﹣1﹣2 ，﹣ ），（﹣1﹣ ， ）

【解析】（1）根據軸對稱，可得B點坐標，根據待定系數法，可得答案；（2）根據自變量與函數值的對應關系，可得C點坐標，根據配方法，可得D點坐標，根據勾股定理，可得CF的長，根據等腰三角形的性質，可得A，C關于EF對稱，根據軸對稱的性質，可得PA=PC，根據兩點之間線段最短，可得P是AD與EF的交點，根據解方程組，可得答案；（3）根據平行四邊形的對角線互相平分，可得P點的縱坐標，根據自變量與函數值的對應關系，可得答案．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等腰三角形的性質的相關知識，掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角），以及對平行四邊形的性質的理解，了解平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分．