Question

【題目】如圖1，在ABCD中，AE⊥BC于E，E恰為BC的中點．tanB＝2．

（1）求證：AD＝AE；

（2）如圖2．點P在BE上，作EF⊥DP于點F，連結(jié)AF．線段DF、EF與AF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；

（3）請你在圖3中畫圖探究：當P為射線EC，上任意一點（P不與點E重合）時，作EF⊥DP于點F，連結(jié)AF，線段DF、EF與AF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請在圖3中補全圖形，直接寫出結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）DF﹣EF＝AF，見解析；（3）①當EP在線段BC上時，有DF﹣EF＝AF，②當點F在PD上，DF+EF＝AF，③當點F在PD的延長線上，EF﹣DF＝AF，見解析.

【解析】

（1）首先根據(jù)∠B的正切值知：AE=2BE，而E是BC的中點，結(jié)合平行四邊形的對邊相等即可得證．

（2）此題要通過構(gòu)造全等三角形來求解；作GA⊥AF，交BD于G，通過證△AFE≌△AGD，來得到△AFG是等腰直角三角形且EF=GD，由此得證．

（3）輔助線作法和解法同（2），只不過結(jié)論有所不同而已．

（1）證明：如圖1中，

∵tanB＝2，

∴AE＝2BE；

∵E是BC中點，

∴BC＝2BE，

即AE＝BC；

又∵四邊形ABCD是平行四邊形，則AD＝BC＝AE；

（2）證明：作AG⊥AF，交DP于G；（如圖2）

∵AD∥BC，

∴∠ADG＝∠DPC；

∵∠AEP＝∠EFP＝90°，

∴∠PEF+∠EPF＝∠PEF+∠AEF＝90°，

即∠ADG＝∠AEF＝∠FPE；

又∵AE＝AD，∠FAE＝∠GAD＝90°﹣∠EAG，

∴△AFE≌△AGD，

∴AF＝AG，即△AFG是等腰直角三角形，且EF＝DG；

∴FG＝AF，且DF＝DG+GF＝EF+FG，

故DF﹣EF＝AF；

（3）解：如圖3，

①當EP在線段BC上時，有DF﹣EF＝AF，

證明方法類似（2）．

②如圖3﹣1中，點F在PD上，DF+EF＝AF．

理由：將△AEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADG

∴△AEF≌△ADG，

同（1）可得：DG＝EF，AG＝AF，

GF＝AF，

則EF+DF＝AF．

③如圖3﹣2，點F在PD的延長線上，EF﹣DF＝AF，

證明方法類似（2）．