Question

在同一平面直角坐標系中有6個點：A（1，1），B（-3，-1），C（-3，1），D（-2，-2），E（-2，-3），F（0，-4）．
（1）畫出△ABC的外接圓⊙P，并指出點D與⊙P的位置關系；
（2）畫出直線EF并把直線EF沿y軸向上平移，使它經過點D，設此時的直線為l₁．請判斷直線l₁與⊙P的位置關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據A、B、C的坐標可得到△ABC為直角三角形，則AB為△ABC外接圓⊙P的直徑，AB的中點P的坐標為（-1，0），利用勾股定理計算出AB，得到⊙P的半徑=

1

2

AB=

5

，再利用勾股定理計算出PD=

5

，然后根據點與圓的位置關系進行判斷；
（2）由于D（-2，-2），E（-2，-3），F（0，-4），則直線EF沿y軸向上平移，使它經過點D，得到直線EF向上平移1個單位得到l₁，則點F平移到Q點（0，-3），再利用勾股定理可計算出PD²=5，DF²=2²+1²=5，PQ²=1²+3²=10，然后根據勾股定理的逆定理得到∠PDQ=90°，再根據圓的切線的判定定理即可得到直線l₁與⊙P相切．

解答：解：（1）∵A（1，1），B（-3，-1），C（-3，1），
∴BC∥y軸，AC∥x軸，
∴BC⊥AC，
∴△ABC為直角三角形，
∴AB為△ABC外接圓⊙P的直徑，AB的中點P的坐標為（-1，0），
⊙P的半徑=

1

2

AB=

1

2

AC2+BC2

=

1

2

42+22

=

5

，
∵PD=

12+22

=

5

，
∴點D在⊙P上；
（2）直線l₁與⊙P相切．理由如下：
∵D（-2，-2），E（-2，-3），F（0，-4），
∴直線EF沿y軸向上平移，使它經過點D，即直線EF向上平移1個單位得到l₁，
∴點F平移到Q點（0，-3），如圖，
連接PQ，PD²=5，DF²=2²+1²=5，PQ²=1²+3²=10，
∴PD²+DF²=PQ²，
∴∠PDQ=90°，
∴直線l₁與⊙P相切．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握點與圓的位置關系和直線與圓相切的判定方法；記住直角三角形外接圓的圓心為斜邊的中點；會根據勾股定理計算平面直角坐標系中兩點的距離．