Question

閱讀下面一段文字：“一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的情況有三種：
①當b²-4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數根；
②當b²-4ac=0時，方程有兩個相等的實數根；
③當b²-4ac＜0時，方程沒有實數根．”請利用以上結論，解答下面的問題：
已知關于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+4（k-

1

2

）=0．
（1）判斷這個一元二次方程的根的情況；
（2）若等腰三角形的一邊長為4，另兩條邊的長恰好是這個方程的兩個根，求這個等腰三角形的周長．

Answer 1

分析：（1）根據根的判別式△=b²-4ac來判斷根的情況；
（2）兩條邊的長恰好是這個方程的兩個根，則長是4的邊可能是三角形的腰長，此時4是方程的一根，把x=4代入原方程求出k的值，當邊長是4的邊是底邊時，方程有兩個相等的實數根，此時b²-4ac=0，即可求得k的值．

解答：解：（1）b²-4ac
=（2k+1）²-4×4（k-

1

2

）
=4k²-12k+9
=（2k-3）²≥0，
∴方程必有兩個的實數根；

（2）①當4為腰長時，
則必有x=4，
代入原方程得k=2.5，
∴原方程為x²-6x+8=0，
解得x₁=2，x₂=4，
∴等腰三角形周長為10；
②當4為底邊時，
方程有兩個相等的實數根，
即b²-4ac=（2k-3）²=0．
∴k=1.5，此時原方程為x²-4x+4=0．
解得x₁=x₂=2．
但2，2，4不能組成三角形，故舍去．
∴等腰三角形周長為10．

點評：判斷一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的情況有三種：
①當b²-4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數根；
②當b²-4ac=0時，方程有兩個相等的實數根；
③當b²-4ac＜0時，方程沒有實數根．
另外要學會根據根的情況解一元二次方程．