Question

如圖，拋物線y=-x²+（m+2）x-3（m-1）交x軸于點A、B（A在B的右邊），直線y=（m+1）x-3經過點A．若m＜1．
（1）求拋物線和直線的解析式；
（2）直線y=kx（k＜0）交直線y=（m+1）x-3于點P，交拋物線y=-x²+（m+2）x-3（m-1）于點M，過M點作x軸垂線，垂足為D，交直線y=（m+1）x-3于點N．問：△PMN能否為等腰三角形？若能，求k的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據拋物線和直線的解析式可知：拋物線與x軸的交點的橫坐標為x=m-1，x=3．而直線與x軸交點的橫坐標為x=，由于兩函數都過A點，因此可求出三組m的值：①m=0，②m=2，③m=-2，由于m＜1，因此②舍去，根據拋物線與x軸有兩個交點，那么△＞0，由此可舍去③．因此m的值為0，代入兩函數中即可求出兩函數的解析式．
（2）根據直線的解析式可求出A，C兩點的坐標，這時可發現∠PNM=45°，如果要使△PMN是等腰三角形，應該滿足的條件是PN=NM，PN=PM（當PM=MN時，直線y=kx與x軸重合，與k＜0不符）．
①當PN=MN時，∠PMN=45°，因此∠ODM=45°，直線y=kx在二四象限的角平分線上，因此k=-1．
②當PN=MN時，過P作y軸的垂線，設垂足為H，由于MN∥OC，因此∠NPM=∠NMP=∠COP=∠CPO，那么OC=CP=3，可在直角三角形PHC中，求出PH和CH的值．根據P點的坐標即可求出k的值．
解答：解：（1）拋物線解析式為y=-x²+2x+3．直線解析式為y=x-3．

（2）如圖，點C坐標為（0，-3），∠PNM=45°若△PNM為等腰三角形，且k＜0，則PN=PM或PN=MN．

當PN=PM時，OD=DM，設M（m，-m），k=-1，
當PN=MN時，過點P作PH垂直y軸于點H．
PH=OH=3-
點P坐標為（，-3）
則k=1-．
綜上所述，△PMN能為等腰三角形，k的值為-1或1-．
點評：數形結合、方程函數的數學思想在數學綜合題中充分利用，對題目的條件和結論既分析其代數含義又分析其幾何意義，力圖在代數和幾何的結合上找出解題思路．