Question

如圖，已知雙曲線經過點M，它關于y軸對稱的雙曲線為.
（1）求雙曲線與的解析式；
（2）若平行于軸的直線交雙曲線于點A，交雙曲線于點B，在軸上存在點P，使以點A，B，O，P為頂點的四邊形是菱形，求點P的坐標．

Answer 1

（1）， ；
（2）滿足要求的點P有兩個：或．

試題分析：（1）根據M點的坐標求出的解析式，根據對稱性求出的解析式；
（2）設出A、B的坐標，根據四邊形OPAB是菱形，得到是等邊三角形，求出AB，再利用勾股定理求出OE，OE等于點A的縱坐標，聯立方程，從而求出P的坐標．
試題解析：（1）在雙曲線上，
，，
雙曲線與關于軸對稱，
 ；
（2）雙曲線與關于軸對稱
∴點A與點B關于y軸對稱，有OA=OB. 
設，則，AB=2m，

∵四邊形OPAB是菱形，則OB=AB，
， 是等邊三角形.
 ，  ，
， .
， ， ，
同理，當四邊形OABP是菱形時，
綜上所述，滿足要求的點P有兩個：或．