Question

如圖，點A在拋物線y=

1

4

x²上，過點A作與x軸平行的直線交拋物線于點B，延長AO，BO分別與拋物線y=-

1

8

x²相交于點C，D，連接AD，BC，設點A的橫坐標為m，且m＞0．
（1）當m=1時，求點A，B，D的坐標；
（2）當m為何值時，四邊形ABCD的兩條對角線互相垂直；
（3）猜想線段AB與CD之間的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

（1）∵點A在拋物線y=

1

4

x²上，且x=m=1，
∴A（1，

1

4

），（1分）
∵點B與點A關于y軸對稱，
∴B（-1，

1

4

）．（2分）
設直線BD的解析式為y=kx，
∴k=-

1

4

，
∴y=-

1

4

x．（3分）
解方程組

y=- 1 4 x y=- 1 8 x2

，
得D（2，-

1

2

）．（4分）

（2）當四邊形ABCD的兩對角線互相垂直時，
由對稱性得直線AO與x軸的夾角等于45°
所以點A的縱、橫坐標相等，（5分）
這時，
設A（a，a），代入y=

1

4

x²，
得a=4，
∴A（4，4），
∴m=4．
即當m=4時，四邊形ABCD的兩條對角線互相垂直．（7分）

（3）線段CD=2AB．（8分）
證明：∵點A在拋物線y=

1

4

x²，且x=m，
∴A（m，

1

4

m²），
得直線AO的解析式為y=

m

4

x，
解方程組

y= m 4 x y=- 1 8 x2

，
得點C（-2m，-

1

2

m2）（9分）
由對稱性得點B（-m，

1

4

m²），D（2m，-

1

2

m²），（10分）
∴AB=2m，CD=4m，
∴CD=2AB．（11分）