Question

【題目】（10分）如圖（1），已知正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，E是AC上一點，連結EB，過點A作AM⊥BE，垂足為M，AM交BD于點F．

（1）試說明OE＝OF；

（2）如圖（2），若點E在AC的延長線上，AM⊥BE于點M，交DB的延長線于點F，其它條件不變，則結論“OE＝OF”還成立嗎?如果成立，請給出說明理由；如果不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】詳見解析．

【解析】

試題分析：（1）根據正方形的性質對角線垂直且平分，得到OB=OA，又因為AM⊥BE，所以∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE，從而求證出Rt△BOE≌Rt△AOF，得到OE=OF．（2）根據第一步得到的結果以及正方形的性質得到OB=OA，再根據已知條件求證出Rt△BOE≌Rt△AOF，得到OE=OF．

試題解析：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形．

∴∠BOE=∠AOF=90°，OB=OA．

又∵AM⊥BE，

∴∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE，

∴∠MEA=∠AFO．

∴Rt△BOE≌Rt△AOF．

∴OE=OF．

解：OE=OF成立．

證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BOE=∠AOF=90°，OB=OA．

又∵AM⊥BE，

∴∠F+∠MBF=90°，

∠E+∠OBE=90°，

又∵∠MBF=∠OBE，

∴∠F=∠E．

∴Rt△BOE≌Rt△AOF．

∴OE=OF．