Question

【題目】如圖所示，正方形ABCD中，AB=8，BE=DF=1，M是射線AD上的動點，點A關于直線EM的對稱點為A′，當△A′FC為以FC為直角邊的直角三角形時，對應的MA的長為___________.

Answer 1

【答案】或

【解析】

由正方形的性質可得AB=CD=8，∠D=∠C=90°，由折疊的性質可得AE=A'E=7，AM=A'M，∠A=∠EA'M=90°，分兩種情況討論，由相似三角形的性質可求MA的長．

如圖，若∠FCA'=90°，即點A'在BC上，過點M作MN⊥BC于點N，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=CD=8，∠D=∠C=90°，且MN⊥BC
∴四邊形MNCD是矩形
∴MN=CD=8
∵AB=8，BE=DF=1，
∴AE=CF=7
∵點A關于直線EM的對稱點為A′，
∴AE=A'E=7，AM=A'M，∠A=∠EA'M=90°
∴A'B=，
∵∠BA'E+∠MA'N=90°，∠BA'E+∠A'EB=90°，
∴∠BEA'=∠MA'N，且∠B=∠MNA'=90°
∴△A'BE∽△MNA'，
∴，
∴
∴A'M=

如圖，若∠A'FC=90°，過點A'作HG⊥AD，過點E作EN⊥HG，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=CD=8，∠D=∠C=90°，且HG⊥AD
∴四邊形HGCD是矩形
∴HG=CD=8，
同理可得NG=BE=1，DF=A'H=1，AE=HN
∵AB=8，BE=DF=1，
∴AE=CF=7
∵點A關于直線EM的對稱點為A′，
∴AE=A'E=7=HN，AM=A'M，∠A=∠EA'M=90°
∴A'N=HN-A'H=6
∴EN=，
∵∠NA'E+∠MA'H=90°，∠NA'E+∠A'EN=90°，
∴∠NEA'=∠MA'H，且∠ENA'=∠MHA'=90°
∴△A'NE∽△MHA'，
∴，
∴
∴A'M=，

故答案為：或