Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，AB=AC，連接并延長OB交CA延長線于點E．

（1）求證: OA平分∠BAC；

（2）若tan∠ABC=，AC=． 求⊙O的半徑和線段BE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】分析：（1）連接OC．由AB=AC，得到弧AB=弧AC ，從而得到∠AOB=∠AOC ．由等腰三角形的性質得到OA⊥BC，即可得出結論．

（2）延長AO交圓于P ，連接PC．由tan∠P=tan∠ABC=，得到PC，AP的長，即可得到半徑．證明△EBA∽△EAO，得到 ．設BE=x，則AE=5x，OE=OB+BE=5+x，得到，解方程即可得到結論．

詳解：（1）連接OC．

∵AB=AC，∴弧AB=弧AC ，∴∠AOB=∠AOC ．

∵OB=OC， ∴OA⊥BC．

∵AB=AC，∴OA平分∠BAC．

（2）延長AO交圓于P ，連接PC．tan∠P=tan∠ABC=，

∴PC=3AC=，AP=10，∴r=5．

∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．

∵∠EAB=∠ABC+∠ACB=2∠ACB=∠AOB，∠E=∠E，

∴△EBA∽△EAO，∴ ．

設BE=x，則AE=5x，OE=OB+BE=5+x，

∴，解得：x=，∴BE=x=．