Question

【題目】如圖1，A（﹣2，0），B（0，4），以B點為直角頂點在第二象限作等腰直角△ABC．

（1）求C點的坐標；

（2）在坐標平面內是否存在一點P，使△PAB與△ABC全等？若存在，求出P點坐標，若不存在，請說明理由；

（3）如圖2，點E為y軸正半軸上一動點，以E為直角頂點作等腰直角△AEM，過M作MN⊥x軸于N，求OE﹣MN的值．

Answer 1

【答案】（1）C（-4，6）；（2）存在，（-6，2）或（2，-2）或（4，2）或（-4，6）；（3）2．

【解析】

試題（1）作CE⊥y軸于E，證明△CBE≌△BAO即可得出結論；（2）分為四種情況討論：①當P和C重合時，△PAB和△ABC全等，即此時P的坐標是（-4，6）；②點P在第二象限，過P作PE⊥x軸于E，滿足∠PAB=∠AOB=∠PEA=90°，PA=AB，則此時△PAB和△ABC全等，證明△PEA≌△AOB即可得出P點坐標；③點P在第一象限，作∠CAP=90°，交CB的延長線于P，此時△PAB和△ABC全等，過P作PE⊥x軸于E，證明△CMA≌△AEP即可求得P點坐標；④P點在第四象限，作∠BAP=90度，AP=AB，此時△PAB和△ABC全等，證明△AOB≌△PEA即可求出P點坐標；（3）作MF⊥y軸于F，把OE-MN轉化成OE-OF，于是OE-MN就等于EF的值，然后證明△AEO≌△EMF，把EF值轉化成AO的長度，就求出了OE-MN的結果．

試題解析：（1）作CE⊥y軸于E，如圖1，

∵A（-2，0），B（0，4），∴OA=2，OB=4，∵∠CBA=90°，∴∠CEB=∠AOB=∠CBA=90°，∴∠ECB+∠EBC=90°∠CBE+∠ABO=90°，∴∠ECB=∠ABO，在△CBE和△BAO中，∠ECB=∠ABO，∠CEB=∠AOB，BC=AB，∴△CBE≌△BAO（AAS），∴CE=BO=4，BE=AO=2，即OE=2+4=6，因為C點在第二象限，∴C（-4，6）．

（2）分四種情況討論：①如圖2，當P和C重合時，△PAB和△ABC全等，即此時P的坐標是（-4，6）；

②如圖3，點P在第二象限，過P作PE⊥x軸于E，滿足∠PAB=∠AOB=∠PEA=90°，PA=AB，則此時△PAB和△ABC全等，∵∠EPA+∠PAE=90°，∠PAE+∠BAO=90°，∴∠EPA=∠BAO（同角的余角相等），在△PEA和△AOB中，∠EPA=∠BAO，∠PEA=∠AOB，PA=AB，∴△PEA≌△AOB，∴PE=AO=2，EA=BO=4，∴OE=2+4=6，即P的坐標是（-6，2）；

③如圖4，點P在第一象限，作∠CAP=90°，交CB的延長線于P，此時△PAB和△ABC全等，過P作PE⊥x軸于E，過C作CM⊥x軸于M，

則∠CMA=∠PEA=90°，∵△CBA≌△PBA，∴∠PAB=∠CAB=45°，AC=AP，∴∠CAP=90°，∴∠MCA+∠CAM=90°，∠CAM+∠PAE=90°，∴∠MCA=∠PAE，在△CMA和△AEP中，∠MCA=∠PAE，∠CMA=∠PEA，AC=AP，∴△CMA≌△AEP，∴PE=AM，CM=AE，∵C（-4，6），A（-2，0），

∴PE=AM=4-2=2，OE=AE-A0=6-2=4，即P的坐標是（4，2）；

④如圖5，P點在第四象限，作∠BAP=90度，AP=AB，此時△PAB和△ABC全等，過P作PE⊥x軸于E，

∵△CBA≌△PAB，∴AB=AP，∠CBA=∠BAP=90°，則∠AEP=∠AOB=90°，∴∠BAO+∠PAE=90°，∠PAE+∠APE=90°，∴∠BAO=∠APE，在△AOB和△PEA中，∠BAO=∠APE，∠AOB=∠PEA，AB=AP，∴△AOB≌△PEA，∴PE=AO=2，AE=OB=4，∴0E=AE-AO=4-2=2，即P的坐標是（2，-2）．綜上所述：坐標平面內存在一點P，使△PAB與△ABC全等，符合條件的P的坐標是（-6，2）或（2，-2）或（4，2）或（-4，6）．（3）如圖6，作MF⊥y軸于F，

則∠AEM=∠EFM=∠AOE=90°，∵∠AEO+∠MEF=90°，∠MEF+∠EMF=90°，∴∠AEO=∠EMF，在△AOE和△EMF中，∠AOE=∠EFM，∠AEO=∠EMF，AE=EM，∴△AEO≌△EMF，∴EF=AO=2，MF=OE，∵MN⊥x軸，MF⊥y軸，∴∠MFO=∠FON=∠MNO=90°，∴四邊形FONM是矩形，∴MN=OF，∴OE-MN=OE-OF=EF=OA=2．即OE-MN的值是2．