Question

【題目】如圖，等腰三角形△ABC的腰長AB=AC=25，BC=40，動點P從B出發沿BC向C運動，速度為10單位/秒．動點Q從C出發沿CA向A運動，速度為5單位/秒，當一個點到達終點的時候兩個點同時停止運動，點P′是點P關于直線AC的對稱點，連接P′P和P′Q，設運動時間為t秒．

（1）若當t的值為m時，PP′恰好經過點A，求m的值．
（2）設△P′PQ的面積為y，求y與t之間的函數關系式（m＜t≤4）
（3）是否存在某一時刻t，使PQ平分角∠P′PC？存在，求相應的t值，不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1中，作AM⊥BC于M．

∵AB=AC=25，AM⊥BC，

∴BM=MC=20，

在Rt△ABM中，AM= = =15，

當PP′恰好經過點A，∵cos∠C= = ，

∴ = ，

∴t= ．

∴m= s

（2）解：如圖2中，設PP′交AC于N．

當 ＜t≤4時，由△PCN∽△ACM，可得PC=40﹣10t，PN=P′N=24﹣6t，CN=32﹣8t，

∵CQ=5t，

∴NQ=CN﹣CQ=32﹣13t，

∴y= PP′NQ= （48﹣12t）（32﹣13t）=78t2﹣504t+768（ ＜t≤4）

（3）解：存在．理由如下：

如圖3中，作QE⊥BC于E．

∵PQ平分∠CPP′，QE⊥PC，QN⊥PP′，

∴QN=QE，

∵sin∠C= = ，

∴t=2，

∴t=2時，PQ平分角∠P′PC

【解析】（1）由∠C的余弦定義既在Rt△APC，又可在Rt△ACM中列出比例式，二者相等，構建方程，求出m;（2）由△PCN∽△ACM,可表示出PC=40﹣10t，PN=P′N=24﹣6t,CN=32﹣8t，代入面積公式，即可得y= PP′NQ=78t2﹣504t+768;（3）利用∠C的正弦有兩種表示的比例式，二者相等，可列出方程,求出t.
【考點精析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質和銳角三角函數的定義的相關知識點，需要掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方；銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數才能正確解答此題．