Question

【題目】如圖，為的直徑，為上一點，連接，過作于點，過點作，其中交的延長線于點．

（1）求證：是的切線．

（2）如圖，點在上，且滿足，連接并延長交的延長線于點．

①試探究線段與之間滿足的數量關系．

②若，，求線段的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①線段與之間滿足的數量關系是：，理由見解析；②．

【解析】

（1）連接，由半徑相等可得，由垂直的定義可得，繼而結合已知可得，問題得證；

（2）①線段與之間滿足的數量關系是：，理由如下：如圖，過作于點，則有，進而通過證明，則可得，繼而可得；

②在Rt△BCD中，利用勾股定理求出BC的長，再由已知可得CF的長，設，則，在中，利用勾股定理可求出OB的長，進而證明，根據相似三角形的性質即可求得答案．

（1）連接，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，即，

∴是的切線．

（2）①線段與之間滿足的數量關系是：，理由如下：

如圖，過作于點，

∵OH過圓心O，

∴，

∵，∠ABC=∠OCB，

∴∠OCH+∠BCE=∠FCE-∠OCB=∠OCB，

又∵∠OCB=∠OCD+∠BCD，，

∴，

∵為公共邊，∠OHC=∠ODC=90°，

∴（），

∴，

∴；

②在Rt△BCD中，∠BDC=90°，BD=2，CD=4，

∴，

由①得：，

設，則，

在中，，

∴，

解得：，即，

∵，

∴

∵，，

∴，

∵四邊形為的內接四邊形，

∴

∴，

∴，

∴，

∴．