Question

如圖，直線l與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點，OA、OB的長分別是關于x的方程x²﹣14x+4（AB+2）=0的兩個根（OB＞OA），P是直線l上A、B兩點之間的一動點（不與A、B重合），PQ∥OB交OA于點Q
小題1:求tan∠BAO的值
小題2:若S_△PAQ=S_{四邊形OQPB}時，請確定點P在AB上的位置，并求出線段PQ的長；
小題3:當點P在線段AB上運動時，在y軸上是否存在點M，使△MPQ為等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

小題1:由已知可得，
又∵OA²+OB²=AB²，
∴（OA+OB）²﹣2OA•OB=AB²，
即14²﹣8（AB+2）=AB²，
∴AB²+8AB﹣180=0，
∴AB=10或AB=﹣18（不合題意，舍去），
∴AB=10，
∴x²﹣14x+48=0，
解得x₁=6，x₂=8，
∵OB＞OA，∴OA=6，OB=8，
∴tan∠BAO=． （5分）
小題2:∵S_△PAQ=S_{四邊形OQPB}，
∴S_△PAQ=S_△AOB，
∵PQ∥BO，
∴△PQA∽△BOA，
∴，
∴．∵AB=10，
∴AP=5，
又∵tan∠BAO=，
∴sin∠BAO=，
∴PQ=PA•sin∠BAO=．（5分）
小題3:存在，
M點的坐標分別為M₁（0，0）、M₂（0，）、M₃（0，）．（2分）

（1）根據勾股定理得出OA²+OB²=AB²，求出AB．然后把AB代入等式求出x的值繼而求出OA，OB的值即可；
（2）已知S_△PAQ=S_{四邊形OQPB，證明}△PQA∽△BOA利用線段比求出AB，AP的值．知道PQ=PA•sin∠BAO，即可求解．