Question

【題目】Rt△ABD和Rt△ACE如下3個圖擺放，其中AB＝AD，AC＝AE．

（1）如圖1，求證：BE＝CD．

（2）如圖2，M為DE中點，求證：BC＝2AM．

（3）如圖3，AB∥CE，AE∥BC，AC＝，AB＝2，直接寫出四邊形BCED的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）5.

【解析】

（1）易證明△DAC≌△BAE，根據全等三角形對應線段相等即可得出結論；

（2）連接AM并延長至N，使MN＝AM，連接DN、EN可證明四邊形AEND是平行四邊形，根據平行四邊形的性質可證明△ABC≌△DAN，根據全等三角形的性質AN＝BC，由此可得AM＝AN＝BC；

（3）由△ABC≌△DAN（SAS）可推出S△ABC＝S△ADN＝S平行四邊形AEND＝S△ADE,由此可得出四邊形BCED的面積=△BAD的面積+3△CAE的面積.

解：（1）如圖1中，

∵△ABD和△ACE是等腰直角三角形，

∴AB＝AD，AE＝AC，且∠DAB＝∠EAC＝90°，

∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，即∠BAE＝∠DAC，

在△DAC和△BAE中，

∵，

∴△DAC≌△BAE（SAS），

∴CD＝BE，

（2）如圖2中，連接AM并延長至N，使MN＝AM，連接DN、EN．

∵AM＝MN，DM＝ME，

∴四邊形AEND是平行四邊形，

∴DN＝AE＝AC，∠ADN+∠DAE＝180°，

∵∠BAD＝∠CAE＝90°，

∴∠BAC+∠DAE＝180°，

∴∠ADN＝∠BAC，

在△ABC和△DAN中，

，

∴△ABC≌△DAN（SAS），

∴AN＝BC，

∴AM＝AN＝BC．

（3）如圖3中，

如圖2中，由（2）可知：△ABC≌△DAN（SAS），

∴S△ABC＝S△ADN＝S平行四邊形AEND＝S△ADE，

∵AB∥CE，AE∥BC，

∴四邊形ABCE是平行四邊形，

∴BC＝AE，AB＝EC，∴S△ABC= S△ACE

∵AC＝，AB＝2，

∴S四邊形BCED＝S△ABC+ S△ABD +S△AEC+ S△ADE＝3 S△AEC + S△ABD =．