Question

如圖，已知在△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圓劣弧AC上的點（不與A，C重合），延長BD至E．
（1）求證：AD的延長線平分∠CDE；
（2）若∠BAC=30°，且△ABC底邊BC邊上高為1，求△ABC外接圓的周長．

Answer 1

（1）證明：如圖，設F為AD延長線上一點，
∵A，B，C，D四點共圓，
∴∠CDF=∠ABC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ADB=∠ACB，
∴∠ADB=∠CDF，
∵∠ADB=∠EDF（對頂角相等），
∴∠EDF=∠CDF，
即AD的延長線平分∠CDE．


（2）設O為外接圓圓心，連接AO比延長交BC于H，連接OC，
∵AB=AC，
∴

AB

=

AC

，
∴AH⊥BC，
∴∠OAC=∠OAB=

1

2

∠BAC=

1

2

×30°=15°，
∴∠COH=2∠OAC=30°，
設圓半徑為r，
則OH=OC•cos30°=

3

2

r，
∵△ABC中BC邊上的高為1，
∴AH=OA+OH=r+

3

2

r=1，
解得：r=2（2-

3

），
∴△ABC的外接圓的周長為：4π（2-

3

）．