Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知直線l1：y= x與直線l2：y=﹣x+6相交于點M，直線l2與x軸相交于點N．

（1）求M，N的坐標．
（2）矩形ABCD中，已知AB=1，BC=2，邊AB在x軸上，矩形ABCD沿x軸自左向右以每秒1個單位長度的速度移動，設矩形ABCD與△OMN的重疊部分的面積為S，移動的時間為t（從點B與點O重合時開始計時，到點A與點N重合時計時開始結束）．直接寫出S與自變量t之間的函數關系式（不需要給出解答過程）．
（3）在（2）的條件下，當t為何值時，S的值最大？并求出最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：解方程組 ，

解得： ，

則M的坐標是：（4，2）．

在解析式y=﹣x+6中，令y=0，解得：x=6，則N的坐標是：（6，0）

（2）

解：當0≤t≤1時，重合部分是一個三角形，OB=t，則高是 t，則面積是 ×t t= t2；

當1＜t≤4時，重合部分是直角梯形，梯形的高是1，下底是： t，上底是： （t﹣1），根據梯形的面積公式可以得到：S= [ t+ （t﹣1）]= （t﹣ ）；

當4＜t≤5時，過M作x軸的垂線，則重合部分被垂線分成兩個直角梯形，兩個梯形的下底都是2，上底分別是：﹣t+6和 （t﹣1），根據梯形的面積公式即可求得

S=﹣ t2+ t﹣ ；

當5＜t≤6時，重合部分是直角梯形，與當1＜t≤4時，重合部分是直角梯形的計算方法相同，則S= （13﹣2t）；

當6＜t≤7時，重合部分是直角三角形，則與當0≤t≤1時，解法相同，可以求得S= （7﹣t）2．

則：S=

（3）

解：在0≤t≤1時，函數值y隨t的增大而增大，則當t=1時，取得最大值是： ；

當1＜t≤4時，函數值y隨t的增大而增大，則當t=4時，取得最大值是： （4﹣ ）= ；

當4＜t≤5時，是二次函數，對稱軸t= ，則最大值是：﹣ ×（ ）2+ × ﹣ = ；

當5＜t≤6時，函數值y隨t的增大而減小，所以函數一定小于 ；

同理，當6＜t≤7時，y隨t的增大而減小，所以函數一定小于 ．

所以函數的最大值是：

【解析】（1）解兩條直線的解析式組成的方程組的解，即可求得交點M的坐標，在y=﹣x+6中，令y=0即可求得點N的橫坐標，則N的坐標即可求解；（2）分成0≤t≤1，1＜t≤4，4＜t≤5，5＜t≤6，6＜t≤7五種情況，利用三角形的面積公式和梯形的面積公式，即可求得函數的解析式；（3）分別求得每種情況下函數的最值或函數值的范圍，即可確定．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的圖象和二次函數的性質的相關知識點，需要掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．