Question

【題目】如圖，在ABCD中，對角線AC，BD交于點O，過點B作BE⊥CD于點E，延長CD到點F，使DF=CE，連接AF.

(1)求證:四邊形ABEF是矩形；

(2)連接OF，若AB=6，DE=2，∠ADF=45°，求OF的長度.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2) OF =.

【解析】

（1）根據菱形的性質得到AD∥BC且AD=BC，等量代換得到BC=EF，推出四邊形AEFD是平行四邊形，根據矩形的判定定理即可得到結論；

（2）根據直角三角形斜邊中線可得：OF=AC，利用勾股定理計算AC的長，可得結論．

(1)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴AB=CD，AB∥CD.

∵DF=CE，

∴DF+DE=CE+ED，

即:FE=CD.

∵點F、E在直線CD上

∴AB=FE，AB∥FE.

∴四邊形ABEF是平行四邊形

又∵BE⊥CD，垂足是E，

∴∠BEF=90°.

∴四邊形ABEF是矩形.

(2)解:∵四邊形ABEF是矩形O，

∴∠AFC=90°，AB=FE.

∵AB=6，DE=2，

∴FD=4.

∵FD=CE，

∴CE=4.

∴FC=10.

在Rt△AFD中，∠AFD=90°.

∵∠ADF=45°，

∴AF=FD=4.

在Rt△AFC中，∠AFC=90°.

∴.

∵點O是平行四邊形ABCD對角線的交點，

∴O為AC中點

在Rt△AFC中，∠AFC=90°.O為AC中點.

∴OF=AC=.