Question

【題目】如圖，拋物線y= x2﹣2x﹣6 與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C，點D為頂點，點E在拋物線上，且橫坐標為4 ，AE與y軸交F．

（1）求拋物線的頂點D和F的坐標；
（2）點M，N是拋物線對稱軸上兩點，且M（2 ，a），N（2 ，a+ ），是否存在a使F，C，M，N四點所圍成的四邊形周長最小，若存在，求出這個周長最小值，并求出a的值；
（3）連接BC交對稱軸于點P，點Q是線段BD上的一個動點，自點D以2 個單位每秒的速度向終點B運動，連接PQ，將△DPQ沿PQ翻折，點D的對應點為D′，設Q點的運動時間為t（0≤t≤ ）秒，求使得△D′PQ與△PQB重疊部分的面積為△DPQ面積的 時對應的t值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵y= x2﹣2x﹣6 = （x﹣2 ）2﹣8 ，

∴頂點D坐標（2 ，﹣8 ），

由題意E（4 ，﹣8 ），A（﹣2 ，0），B（6 ，0），

設直線AE解析式為y=kx+b，則有 ，解得 ，

∴直線AE解析式為y=﹣x﹣2 ，

∴點F坐標（0，﹣2 ）

（2）

解：如圖1中，作點F關于對稱軸的對稱點F′，連接FF′交對稱軸于G，在CF上取一點C′，使得CC′= ，連接C′F′與對稱軸交于點N，此時四邊形CMNF周長最小．

∵四邊形CMNF的周長=CF+NM+CM+FN=5 +CM+NF，CM+NF=C′N+NF=C′N+NF′=C′F′（兩點之間線段最短），

∴此時四邊形CMNF的周長最小．

∵C′F=3

∴GN= C′F= ，

∴﹣（a+ ）=2 + ，

∴a=﹣ ，

∵C′F′= =5 ，

∴四邊形CMNF的周長最小值=5 +5 =10

（3）

解：如圖2中，作PF⊥BD于F，QH⊥對稱軸于H．

由題意可知BD= =4 ，DQ=2 t，

∵S△PQG= S△DPQ= S△PD′Q，

∴PG= PD′= PD=2 = BF，

情形①PG∥FB時，∵PF=PD，

∴BG=GD，

∴PG= BF=2 ，

在Rt△QHD中，sin∠HDQ= ，DQ=2 t，

∴HQ=2 t，HD=4 t，

∵∠QPD′=∠QPD=45°，

∴PH=HQ=2 t，

∴PH+HD=PD，

∴6 t=4 ，

∴t= ．

情形②如圖3中，PG′=PG=2 ，作PM⊥BD于M，QK⊥PD于K，QJ⊥PD′于J．

由sin∠PDG=sin∠GPM= = ，

∴MG′=MG= ，

∴G′D=BD﹣GG′= ，

∵ = = ，

∵∠QPD=∠QPG′，QK⊥PD，QJ⊥PG′，

∴QK=QJ，

∴ = =2，

∴QD= × = ，

∴t= = ，

綜上所述t= 或 秒時，△D′PQ與△PQB重疊部分的面積為△DPQ面積的

【解析】（1）利用配方法或公式法求頂點坐標，求出最小AE即可求出點F坐標．（2）如圖1中，作點F關于對稱軸的對稱點F′，連接FF′交對稱軸于G，在CF上取一點C′，使得CC′= ，連接C′F′與對稱軸交于點N，此時四邊形CMNF周長最小．（3）分兩種情形①PG∥FB時；②如圖3中，PG′=PG=2 ，作PM⊥BD于M，QK⊥PD于K，QJ⊥PD′于J．分別求解即可．
【考點精析】通過靈活運用二次函數的圖象，掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點即可以解答此題．