Question

如圖，拋物線與x軸交于點A（—2，0），交y軸于點B（0，）.直過點A與y軸交于點C，與拋物線的另一個交點是D.

（1）求拋物線與直線的解析式；
（2）設點P是直線AD下方的拋物線上一動點（不與點A、D重合），過點P作 y軸的平行線，交直線AD于點M，作DE⊥y軸于點E．探究：是否存在這樣的點P，使四邊形PMEC是平行四邊形？若存在請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）在（2）的條件下，作PN⊥AD于點N，設△PMN的周長為m，點P的橫坐標為x，求m與x的函數關系式，并求出m的最大值．

Answer 1

（1）,;（2）存在,（2，－3）和（4，）;（3）,當x=3時，m的最大值是15.

試題分析：（1）將A，B兩點坐標分別代入求出二次函數解析式；將A點坐標代入求出直線解析式;
（2）首先假設出P，M點的坐標，進而得出PM的長，將兩函數聯立得出D點坐標，進而得出CE的長，利用平行四邊形的判定得出PM=CE，得出等式方程求出即可;
（3）利用勾股定理得出DC的長，進而根據△PMN∽△CDE，得出兩三角形周長之比，求出m與x的函數關系，再利用配方法求出二次函數最值即可.
試題解析：（1）∵經過點A（—2，0）和B（0，）
∴，解得.
∴拋物線的解析式是.
∵直線經過點A（—2，0），∴，解得：.
∴直線的解析式是.
（2）存在.
設P的坐標是（x，），則M的坐標是（x，），
∴.
解方程得：或.
∵點D在第三象限，∴點D的坐標是（8，）.
由令x=0得點C的坐標是（0，）.
∴.
∵PM∥y軸，∴要使四邊形PMEC是平行四邊形，必有PM=CE，即.
解這個方程得：x₁=2，x₂=4.
當x=2時，y="—3;" 當x=4時，y=.
∴直線AD上方的拋物線上存在這樣的點P，使四邊形PMEC是平行四邊形，點P的坐標是（2，－3）和（4，）.
（3）在Rt△CDE中，DE=8，CE=6 由勾股定理得：DC=10.
∴△CDE的周長是24.
∵PM∥y軸，∴∠PMN=∠DCE.
∵∠PNM=∠DEC，∴△PMN∽△CDE.
∴，即.
化簡整理得：m與x的函數關系式是：.
∵＜0，∴m有最大值，當x=3時，m的最大值是15.