Question

【題目】如圖1，已知 為正方形 的中心，分別延長 到點 ， 到點 ，使 ， ，連結 ，將△ 繞點 逆時針旋轉 角得到△ （如圖2）．連結 、 ．

（Ⅰ）探究 與 的數量關系，并給予證明；
（Ⅱ）當 ， 時，求：
① 的度數；
② 的長度．

Answer 1

【答案】解：如圖:

（Ⅰ）∵正方形ABCD中，OA=OD=OB，

又∵OF=2OA，OE=2OD，

∴OE=OF，則OE′=OF′，

在△AOE′和△BOF′中，

∴△AOE′≌△BOF′

∴AE′=BF′；

（Ⅱ）①延長OA到M，使AM=OA，則OM=OE′．

∵正方形ABCD中，∠AOD=90°，

∴∠AOE′=90°﹣30°=60°，

∴△OME′是等邊三角形，

又∵AM=OA，

∴AE′⊥OM，

則∠E′AO=90°，

∴∠AOE′=90°﹣α=60°，

∴在直角△AOE′中，∠AE′O=90°﹣∠AOE′=30°；

②∵∠AOE′=90°﹣α=60°，∠E′OF′=90°，

∴∠AOF′=30°，

又∵∠AOB=90°，

∴∠BOF′=60°，

又∵等腰直角△AOB中，OB= AB= ，

∴在Rt△ABE'中得到AE'= OA= ，

又BF'=AE'

∴BF′= ．

【解析】（Ⅰ）由正方形的性質可證明△AOE′≌△BOF′，進而得出結論；
（Ⅱ）①延長OA到M，使AM=OA，則OM=OE′．由正方形的性質和已知可得△OME′是等邊三角形，進而在直角△AOE′中可求出∠AE′O的度數；
②先求出∠BOF′=60°，在等腰直角△AOB中利用三角函數可求出OB的長，在Rt△ABE'中利用三角函數可求出AE′的長，從而可得BF′的長.