Question

如圖1，正方形ABCD的邊長為2，點M是BC的中點，P是線段MC上的一個動點（不與M、C重合），以AB為直徑作⊙O，過點P作⊙O的切線，交AD于點F，切點為E．

（1）求證：OF∥BE；
（2）設BP=x，AF=y，求y關于x的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）延長DC、FP交于點G，連接OE并延長交直線DC與H（圖2），問是否存在點P，使△EFO∽△EHG（E、F、O與E、H、G為對應點）？如果存在，試求（2）中x和y的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）首先證明Rt△FAO≌Rt△FEO進而得出∠AOF=∠ABE，即可得出答案。
（2）（1＜x＜2）。
（3）存在這樣的P點。理由見解析。

分析：（1）首先證明Rt△FAO≌Rt△FEO進而得出∠AOF=∠ABE，即可得出答案。
（2）過F作FQ⊥BC于Q，利用勾股定理求出y與x之間的函數關系，根據M是BC中點以及BC=2，即可得出BP的取值范圍。
（3）首先得出當∠EFO=∠EHG=2∠EOF時，即∠EOF=30°時，Rt△EFO∽Rt△EHG，求出y=AF=OA•tan30°=，即可得出答案。
解：（1）證明：連接OE，

∵FE、FA是⊙O的兩條切線，∴∠FAO=∠FEO=90°。
在Rt△OAF和Rt△OEF中，∵，
∴Rt△FAO≌Rt△FEO（HL）。
∴∠AOF=∠EOF=∠AOE。∴∠AOF=∠ABE。
∴OF∥BE。
（2）過F作FQ⊥BC于Q，

∴PQ=BP﹣BQ=x﹣y，
PF=EF+EP=FA+BP=x+y。
∵在Rt△PFQ中，FQ²+QP²=PF²，
∴2²+（x﹣y）²=（x+y）²
化簡得：（1＜x＜2）。
（3）存在這樣的P點。理由如下：
∵∠EOF=∠AOF，
∴∠EHG=∠EOA=2∠EOF。
當∠EFO=∠EHG=2∠EOF時，即∠EOF=30°時，Rt△EFO∽Rt△EHG，
此時Rt△AFO中，y=AF=OA•tan30°=，
∴。
∴當 y=，時，△EFO∽△EHG。